Potencias y raíces PAES:
ejercicios resueltos
Repasa propiedades de potencias, exponentes negativos y racionales, raíces enésimas y simplificación. Incluye 5 ejercicios originales con desarrollo paso a paso.
Cómo estudiar potencias y raíces para la PAES
Las preguntas de potencias y raíces pueden exigir simplificar una expresión, comparar cantidades, interpretar crecimiento o reconocer una escritura equivalente. La clave es usar propiedades solo cuando las bases y operaciones lo permiten.
Muchos errores aparecen al inventar reglas, por ejemplo sumar exponentes en una suma de potencias o distribuir una raíz sobre una adición. Conviene identificar primero la estructura y después aplicar una propiedad válida.
Tabla breve de propiedades de potencias y raíces
Úsala como referencia rápida. En cada ejercicio debes decidir primero qué regla corresponde.
| Situación | Regla | Cuándo usarla |
|---|---|---|
| Producto de igual base | \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) | Cuando las bases son exactamente iguales. |
| Cociente de igual base | \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) | Con \(a\neq0\). |
| Potencia de una potencia | \(\left(a^m\right)^n=a^{mn}\) | Multiplica los exponentes. |
| Exponente negativo | \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) | Indica recíproco; no vuelve negativa la base. |
| Exponente racional | \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) | El denominador es el índice de la raíz. |
| Extraer factor de una raíz | \(\sqrt{k^2a}=k\sqrt a\) | Busca factores que sean potencias perfectas. |
Importante: comprender la operación es más seguro que reemplazar datos mecánicamente.
Método breve para resolver
Identifica la estructura
Decide si hay producto, cociente, potencia de potencia o raíz.
Comprueba las bases
Solo suma o resta exponentes cuando las bases son iguales.
Aplica una propiedad
Escribe el paso intermedio para no mezclar reglas.
Verifica
Estima el tamaño del resultado y comprueba restricciones como base distinta de cero.
Ejercicios de potencias y raíces PAES resueltos
Intenta responder antes de abrir cada solución. Los ejercicios son originales y están alineados con el temario, pero no reproducen preguntas oficiales.
Producto y cociente de igual base
Ver solución paso a paso
1. Como la base es 2, sumamos exponentes en el producto y restamos en el cociente.
2. \(2^{3+5-4}=2^4=16\).
Recíproco de una potencia
Ver solución paso a paso
1. El exponente negativo indica recíproco: \(\left(\frac32\right)^{-2}=\left(\frac23\right)^2\).
2. \(\left(\frac23\right)^2=\frac49\).
Extraer un cuadrado perfecto
Ver solución paso a paso
1. Descomponemos \(72=36\cdot2\).
2. \(\sqrt{72}=\sqrt{36}\cdot\sqrt2=6\sqrt2\).
Relacionar potencia y raíz
Ver solución paso a paso
1. El denominador 3 indica raíz cúbica: \(27^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2\).
2. \(\sqrt[3]{27}=3\) y \(3^2=9\).
Lado de un cuadrado
Ver solución paso a paso
1. Si el lado es \(L\), entonces \(L^2=288\), por lo que \(L=\sqrt{288}\).
2. \(288=144\cdot2\); entonces \(\sqrt{288}=12\sqrt2\).
Errores frecuentes con potencias y raíces PAES
La mayoría de estas equivocaciones se previene leyendo el signo, la base, el total o la operación antes de calcular.
Sumar exponentes en una suma
Se aplica \(a^m+a^n=a^{m+n}\), propiedad que no existe.
Multiplicar exponentes siempre
Se usa la regla de potencia de potencia en un producto simple.
Interpretar exponente negativo como signo
Se cree que \(a^{-2}=-a^2\).
Distribuir una raíz sobre una suma
Se supone que \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\).
Confundir índice con exponente
En \(a^{\frac{m}{n}}\) se intercambia el papel de \(m\) y \(n\).
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Fuente curricular
El temario oficial de Competencia Matemática 1 para la Admisión 2027 incluye, dentro del eje Números, enteros y racionales, porcentaje, potencias y raíces enésimas. Esta página usa ejercicios propios elaborados para practicar esos conocimientos en distintos contextos.
Continúa estudiando el eje Números
Estas páginas forman una ruta: cada una desarrolla una unidad específica del temario M1 y todas regresan a la guía principal del eje.
Preguntas frecuentes sobre potencias y raíces PAES
¿Cuándo se suman los exponentes?
Se suman al multiplicar potencias que tienen exactamente la misma base: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\).
¿Qué significa un exponente negativo?
Indica el recíproco de la potencia con exponente positivo. Por ejemplo, \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18\).
¿Cómo se interpreta un exponente racional?
En \(a^{\frac{m}{n}}\), el denominador \(n\) representa el índice de la raíz y el numerador \(m\) la potencia.
¿Cómo simplificar una raíz?
Busca dentro del radicando un factor que sea una potencia perfecta. Por ejemplo, \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\).
¿Potencias y raíces pertenecen al temario PAES M1 2027?
Sí. El temario incluye propiedades de potencias de base y exponente racional, raíces enésimas y problemas en diversos contextos.