Teorema de Pitágoras PAES:
ejercicios resueltos
Aprende a reconocer catetos e hipotenusa y aplica el teorema en triángulos, rectángulos y situaciones cotidianas. Incluye 5 ejercicios originales con desarrollo paso a paso.
Cómo reconocer el Teorema de Pitágoras en la PAES
El Teorema de Pitágoras se utiliza solamente cuando existe un triángulo rectángulo. Puede aparecer de manera directa o escondido dentro de una escalera apoyada en una pared, la diagonal de un rectángulo, una rampa o la distancia entre dos puntos.
Antes de reemplazar números, ubica el ángulo de \(90^\circ\). El lado opuesto es la hipotenusa y los dos lados que forman el ángulo recto son los catetos. Esa identificación determina si debes sumar o restar cuadrados.
Fórmulas del Teorema de Pitágoras
Usa esta tabla como referencia rápida. En cada problema primero debes identificar cuál lado corresponde a la incógnita.
| Situación | Fórmula | Cuándo usarla |
|---|---|---|
| Relación principal | \(c^2=a^2+b^2\) | En cualquier triángulo rectángulo. |
| Calcular la hipotenusa | \(c=\sqrt{a^2+b^2}\) | Cuando conoces los dos catetos. |
| Calcular un cateto | \(a=\sqrt{c^2-b^2}\) | Cuando conoces la hipotenusa y el otro cateto. |
| Diagonal de un rectángulo | \(d=\sqrt{l^2+w^2}\) | El largo, el ancho y la diagonal forman un triángulo rectángulo. |
| Distancia en el plano | \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) | Las diferencias horizontal y vertical funcionan como catetos. |
Importante: la letra utilizada no determina la hipotenusa. La hipotenusa se reconoce por estar frente al ángulo recto.
Método breve para resolver
Ubica el ángulo recto
Comprueba que el problema contenga un triángulo con un ángulo de \(90^\circ\).
Identifica la hipotenusa
Es el lado opuesto al ángulo recto y el de mayor longitud.
Decide si sumas o restas
Suma cuadrados para calcular la hipotenusa; resta para calcular un cateto.
Aplica la raíz y verifica
Después de operar los cuadrados, calcula la raíz y revisa que la hipotenusa sea el lado mayor.
Ejercicios del Teorema de Pitágoras PAES resueltos
Intenta responder antes de abrir cada solución. Los ejercicios son originales y están alineados con el temario, pero no reproducen preguntas oficiales.
Triángulo rectángulo
Ver solución paso a paso
1. Como conocemos los dos catetos, calculamos la hipotenusa: \(c=\sqrt{6^2+8^2}\).
2. \(c=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\).
Encontrar el lado faltante
Ver solución paso a paso
1. Como buscamos un cateto, restamos cuadrados: \(a=\sqrt{13^2-5^2}\).
2. \(a=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\).
Escalera apoyada en una pared
Ver solución paso a paso
1. La pared y el suelo son perpendiculares; la escalera es la hipotenusa.
2. \(c=\sqrt{2{,}4^2+3{,}2^2}=\sqrt{5{,}76+10{,}24}=\sqrt{16}=4\).
Diagonal de un rectángulo
Ver solución paso a paso
1. La diagonal es la hipotenusa del triángulo formado por el alto y el ancho.
2. \(d=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\).
Distancia entre dos puntos
Ver solución paso a paso
1. La diferencia horizontal es \(4-(-2)=6\) y la vertical es \(9-1=8\).
2. Estas diferencias son los catetos: \(d=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\).
Errores frecuentes con el Teorema de Pitágoras
Estas equivocaciones suelen aparecer antes del cálculo. Identificar correctamente los lados evita la mayoría de ellas.
Elegir mal la hipotenusa
Se considera hipotenusa al lado horizontal o al que aparece con la letra \(c\).
Sumar los lados directamente
Se calcula \(a+b\) en vez de \(a^2+b^2\).
Sumar para encontrar un cateto
Se usa \(a^2=c^2+b^2\), aunque \(c\) es la hipotenusa.
Olvidar la raíz cuadrada
Se obtiene \(c^2=100\) y se responde 100.
No comprobar el resultado
Se acepta una hipotenusa menor que uno de los catetos.
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Fuente curricular
El temario oficial de Competencia Matemática 1 para la Admisión 2027 incluye, dentro del eje Geometría, problemas que involucran el Teorema de Pitágoras en diversos contextos. Esta página utiliza ejercicios propios para practicar ese conocimiento.
Continúa estudiando Geometría PAES
Esta página desarrolla una unidad específica del temario M1 y se conecta con la guía principal del eje y los recursos generales de preparación.
Preguntas frecuentes sobre el Teorema de Pitágoras PAES
¿Cuándo se puede aplicar el Teorema de Pitágoras?
Se aplica solamente a triángulos rectángulos, es decir, triángulos que tienen un ángulo de \(90^\circ\).
¿Cómo identificar la hipotenusa?
Es el lado opuesto al ángulo recto y siempre corresponde al lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
¿Cuándo se suman y cuándo se restan los cuadrados?
Se suman los cuadrados de los catetos para encontrar la hipotenusa. Para encontrar un cateto, se resta el cuadrado del cateto conocido al cuadrado de la hipotenusa.
¿El Teorema de Pitágoras sirve para calcular diagonales?
Sí. La diagonal de un rectángulo forma un triángulo rectángulo con el largo y el ancho, por lo que puede calcularse mediante \(d=\sqrt{l^2+w^2}\).
¿El Teorema de Pitágoras pertenece al temario PAES M1 2027?
Sí. El temario oficial incluye problemas que involucran el Teorema de Pitágoras en distintos contextos dentro del eje Geometría.