Puntos y vectores PAES:
ejercicios en el plano cartesiano
Aprende a leer coordenadas, calcular componentes y seguir desplazamientos sin confundir signos. Incluye 8 ejercicios originales resueltos paso a paso.
Qué debes saber de puntos y vectores en la PAES
Un punto representa una ubicación exacta del plano cartesiano. Se escribe como un par ordenado \((x,y)\): primero se lee la posición horizontal y después la vertical. Cambiar el orden de las coordenadas cambia la ubicación, por lo que \((2,-5)\) no representa el mismo punto que \((-5,2)\).
Un vector representa un desplazamiento. Sus componentes \((a,b)\) indican cuánto cambia \(x\) y cuánto cambia \(y\). A diferencia de un punto, el vector no describe por sí solo una ubicación: describe una dirección, un sentido y una longitud. Esta distinción es la base para resolver preguntas de puntos y vectores PAES y posteriormente aplicar traslaciones.
Esta página se concentra en coordenadas y operaciones con vectores. Para estudiar giros, reflexiones y traslaciones de figuras completas, utiliza la guía de transformaciones isométricas PAES.
Fórmulas de puntos y vectores PAES
Identifica primero si te entregan dos puntos, un punto y un vector, o varios desplazamientos consecutivos.
| Situación | Regla | Qué significa |
|---|---|---|
| Vector desde \(A\) hasta \(B\) | \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)\) | Final menos inicial, componente a componente. |
| Encontrar el punto final | \(B=A+\vec v\) | Suma el vector a las coordenadas del punto inicial. |
| Encontrar el punto inicial | \(A=B-\vec v\) | Resta el vector al punto final. |
| Sumar desplazamientos | \((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\) | Suma horizontales entre sí y verticales entre sí. |
| Multiplicar por un número | \(k(a,b)=(ka,kb)\) | Escala ambas componentes por el mismo factor. |
| Vector opuesto | \(-(a,b)=(-a,-b)\) | Misma longitud, pero sentido contrario. |
| Magnitud del vector | \(\lVert(a,b)\rVert=\sqrt{a^2+b^2}\) | Longitud del desplazamiento mediante Pitágoras. |
En \(\overrightarrow{AB}\), el orden importa: \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
Método breve para resolver ejercicios
Reconoce qué representa cada par
Distingue si es un punto, un vector o el resultado que debes encontrar.
Respeta el orden \(x,y\)
Trabaja primero la componente horizontal y después la vertical.
Si hay dos puntos, resta final menos inicial
Escribe los nombres sobre cada coordenada antes de operar para evitar invertirlos.
Interpreta los signos
Comprueba si el resultado apunta hacia la derecha, izquierda, arriba o abajo según el dibujo.
Verifica el resultado
Suma el vector al punto inicial: debes llegar exactamente al punto final.
Cómo leer los signos en el plano cartesiano
El eje \(x\) es horizontal y el eje \(y\) es vertical. Un punto del primer cuadrante tiene ambas coordenadas positivas; en el segundo cuadrante \(x\) es negativa y \(y\) positiva; en el tercero ambas son negativas; y en el cuarto \(x\) es positiva y \(y\) negativa.
En un vector ocurre algo parecido, pero los signos describen movimiento. Por ejemplo, \((-4,3)\) significa cuatro unidades hacia la izquierda y tres hacia arriba. No significa necesariamente que el punto final esté en el segundo cuadrante: eso dependerá del punto desde el cual comienza el desplazamiento.
Punto, vector y posición final: cómo no confundirlos
Un mismo par de números puede aparecer como punto o como vector, pero cumple funciones distintas. Si \(P=(3,-2)\) es un punto, indica una ubicación concreta: tres unidades a la derecha y dos bajo el origen. Si \(\vec v=(3,-2)\) es un vector, indica un movimiento de tres unidades a la derecha y dos hacia abajo desde cualquier punto inicial. El contexto, la letra y la flecha sobre el nombre permiten reconocer qué representa.
Esta diferencia se vuelve decisiva cuando el ejercicio pregunta dónde termina una persona, un vehículo o una figura. Si el recorrido comienza en \(A\) y el desplazamiento es \(\vec v\), el punto final no es necesariamente \(\vec v\). Debes calcular \(B=A+\vec v\). Por ejemplo, comenzar en \((-1,4)\) y desplazarse según \((3,-2)\) lleva al punto \((2,2)\), aunque el vector siga siendo \((3,-2)\).
El orden del vector también comunica el sentido
La notación \(\overrightarrow{AB}\) describe un recorrido que comienza en \(A\) y termina en \(B\). Si inviertes las letras, también inviertes el sentido: \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\). Ambos vectores tienen la misma magnitud, pero sus componentes presentan signos contrarios. Esta comprobación es especialmente útil cuando dos alternativas solo se diferencian por los signos.
Comprobación visual antes de marcar
No necesitas dibujar un plano perfecto para revisar una respuesta. Observa la posición relativa de los puntos: si \(B\) está a la derecha de \(A\), la primera componente de \(\overrightarrow{AB}\) debe ser positiva; si está debajo, la segunda debe ser negativa. Esta lectura cualitativa permite descartar resultados imposibles antes de terminar todos los cálculos.
Ejercicios de puntos y vectores PAES resueltos
Intenta responder antes de abrir la solución. Las alternativas incorrectas representan errores frecuentes de orden, signos y operaciones.
Ubicar un punto por sus signos
Ver solución paso a paso
La coordenada \(x=-4\) indica una posición a la izquierda del origen. La coordenada \(y=3\) indica una posición sobre el eje horizontal.
La combinación \((-,+)\) corresponde al segundo cuadrante.
Calcular el vector entre dos puntos
Ver solución paso a paso
Resta las coordenadas del punto inicial \(A\) a las del punto final \(B\):
\(\overrightarrow{AB}=(2-(-3),\,3-(-1))=(5,4)\).
La flecha avanza cinco unidades hacia la derecha y cuatro hacia arriba, lo que coincide con los signos positivos.
Aplicar un desplazamiento
Ver solución paso a paso
Para encontrar el punto final, suma el vector al punto inicial:
\(B=(2,-3)+(-5,4)=(2-5,\,-3+4)=(-3,1)\).
Reconstruir el origen del vector
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Como \(B=A+\vec v\), despejamos \(A=B-\vec v\).
\(A=(4,5)-(6,2)=(4-6,\,5-2)=(-2,3)\).
Comprobación: \((-2,3)+(6,2)=(4,5)\).
Combinar dos desplazamientos
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Suma por separado las componentes horizontales y verticales:
\(\vec u+\vec v=(4+(-2),\,1+3)=(2,4)\).
El resultado indica que, respecto del inicio, el robot termina dos unidades a la derecha y cuatro arriba.
Repetir un mismo movimiento
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El número 3 multiplica ambas componentes del vector:
\(3\vec w=3(-2,1)=(3\cdot(-2),\,3\cdot1)=(-6,3)\).
Calcular la longitud de un vector
Ver solución paso a paso
La magnitud corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8:
\(\lVert\vec a\rVert=\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\).
Determinar la posición después de dos recorridos
Ver solución paso a paso
Primero suma los dos desplazamientos:
\(\vec u+\vec v=(5+(-1),\,-2+6)=(4,4)\).
Ahora aplica ese vector al punto inicial:
\(P+(4,4)=(-3+4,\,1+4)=(1,5)\).
Errores frecuentes con puntos y vectores PAES
Estos errores producen alternativas muy plausibles, por lo que conviene detectarlos antes de calcular.
Invertir el orden \(x,y\)
Se interpreta el primer número como vertical.
Restar inicial menos final
Se obtiene un vector con sentido contrario.
Perder un signo negativo
Restar un número negativo se trata como resta común.
Confundir punto con vector
Se responde con un desplazamiento cuando pedían una ubicación final.
Mezclar componentes
Se suma una coordenada \(x\) con una coordenada \(y\).
Olvidar la raíz
Se entrega el cuadrado de la magnitud como longitud.
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Fuente curricular
El temario oficial de Competencia Matemática 1 para la Admisión 2027 incluye explícitamente puntos y vectores en el plano cartesiano dentro de la unidad de transformaciones isométricas. Los ejercicios de esta página son originales y entrenan la lectura, representación y resolución de problemas con estos objetos.
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Conecta puntos y vectores con desplazamientos, distancias y la ruta completa del eje.
Preguntas frecuentes sobre puntos y vectores PAES
¿Cómo se calcula el vector entre dos puntos?
Se resta el punto inicial al punto final: \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)\).
¿Qué representa cada componente de un vector?
La primera componente representa el desplazamiento horizontal y la segunda, el vertical.
¿Es lo mismo un punto que un vector?
No. Un punto indica una ubicación; un vector indica un desplazamiento con dirección, sentido y magnitud.
¿Cómo se encuentra el punto final de un vector?
Se suma el vector a las coordenadas del punto inicial, componente a componente.
¿Cómo se calcula la magnitud de un vector?
Para \((a,b)\), se calcula \(\sqrt{a^2+b^2}\), aplicando el teorema de Pitágoras.
¿Puntos y vectores aparecen en PAES M1?
Sí. El temario oficial M1 para la Admisión 2027 los incluye expresamente dentro del eje Geometría.