Circunferencia y círculo PAES:
ejercicios resueltos
Distingue radio y diámetro, elige entre longitud y área, y practica con 8 ejercicios originales desde aplicación directa hasta figuras sombreadas.
Circunferencia y círculo: la diferencia que evita errores
Aunque en el lenguaje cotidiano suelen confundirse, matemáticamente no representan lo mismo. La circunferencia es la línea curva cerrada que forma el borde. El círculo es la región interior limitada por esa circunferencia.
Esta diferencia indica qué fórmula usar. Si un problema habla de una vuelta, un borde, un cerco, una cinta o un contorno, necesitas una longitud de circunferencia. Si pregunta por una superficie que se pinta, cubre, pavimenta o sombrea, necesitas el área del círculo.
El radio \(r\) une el centro con cualquier punto de la circunferencia. El diámetro \(d\) atraviesa el centro y une dos puntos del borde, por lo que siempre cumple \(d=2r\). Revisar cuál de estas dos medidas entrega el enunciado es el primer paso de casi todos los ejercicios.
Fórmulas de circunferencia y círculo PAES
No necesitas memorizar muchas expresiones. Estas relaciones cubren los problemas fundamentales del temario.
| Concepto | Fórmula | Interpretación |
|---|---|---|
| Diámetro y radio | \(d=2r\) · \(r=\dfrac d2\) | El diámetro equivale a dos radios. |
| Longitud de circunferencia | \(C=2\pi r\) | Úsala cuando conoces el radio. |
| Longitud con diámetro | \(C=\pi d\) | Evita dividir por 2 si la pregunta solo pide el contorno. |
| Área del círculo | \(A=\pi r^2\) | El radio se eleva al cuadrado; \(\pi\) no. |
| Región sombreada | \(A_s=A_{\text{mayor}}-A_{\text{menor}}\) | Calcula las áreas completas y luego resta. |
Sobre \(\pi\): si las alternativas conservan \(\pi\), entrega el resultado exacto. Usa una aproximación como \(3,14\) solo cuando el enunciado lo solicite.
Método breve para resolver
Decide si buscas borde o superficie
Contorno, vuelta y cerco indican longitud; pintar, cubrir y sombrear indican área.
Identifica radio o diámetro
Si entregan el diámetro y necesitas el área, divídelo por 2 antes de reemplazar.
Reemplaza con paréntesis
En \(A=\pi r^2\), eleva al cuadrado todo el valor del radio.
Revisa unidad y razonabilidad
Las longitudes usan cm o m; las áreas usan cm² o m². Un área nunca queda en unidades lineales.
Cómo leer un problema de círculo en la PAES
En una pregunta PAES, la fórmula casi nunca aparece indicada. Debes reconocerla a partir de la acción descrita. Expresiones como dar una vuelta, rodear, cercar, bordear o instalar una cinta apuntan a la longitud de la circunferencia. En cambio, pintar, cubrir, pavimentar, sembrar o sombrear requieren calcular una superficie y, por lo tanto, el área del círculo.
Después identifica la medida entregada. Si el enunciado dice que un objeto “mide 12 cm de un extremo al otro pasando por el centro”, está describiendo un diámetro, aunque no utilice esa palabra. Si la medida va desde el centro hasta el borde, es un radio. También puede ocurrir que la longitud de la circunferencia sea conocida y debas encontrar el radio o el diámetro despejando la fórmula.
Las unidades permiten comprobar la elección. Un cerco alrededor de una plaza se expresa en metros, mientras que el pasto necesario para cubrirla se expresa en metros cuadrados. Si calculaste un área y tu resultado quedó en centímetros, falta escribir centímetros cuadrados. Esta revisión rápida permite descartar alternativas que usan una fórmula razonable, pero presentan la unidad incorrecta.
Cuando el ejercicio combina figuras, no busques una fórmula nueva. Divide la imagen en áreas conocidas. En una corona circular se resta el círculo interior al exterior. En un círculo inscrito en un cuadrado, el diámetro coincide con el lado del cuadrado y la región exterior se obtiene restando el área circular al área cuadrada. Dibujar o marcar qué parte se conserva evita invertir la resta.
Finalmente, observa cómo aparecen las alternativas. Si todas mantienen \(\pi\), trabaja de forma exacta y no reemplaces por 3,14. Si el problema solicita una aproximación, conserva \(\pi\) durante el desarrollo y redondea solo el resultado final. De esta manera disminuyes el error acumulado y puedes comparar tu expresión con las opciones antes de terminar todas las operaciones.
Si se describen varias vueltas o varias piezas iguales, calcula primero una sola y multiplica recién al final. Así mantienes visible qué representa cada cantidad.
8 ejercicios de circunferencia y círculo PAES resueltos
Responde cada pregunta antes de abrir la solución. La secuencia comienza con radio y diámetro, continúa con longitud y área, y termina con problemas integrados.
Medida del radio
Ver solución paso a paso
1. El diámetro equivale a dos radios: \(d=2r\).
2. Dividimos por 2: \(r=\frac{18}{2}=9\text{ cm}\).
Contorno de una mesa circular
Ver solución paso a paso
1. “Borde” indica longitud de circunferencia.
2. Aplicamos \(C=2\pi r\): \(C=2\pi\cdot7=14\pi\text{ cm}\).
Encontrar el diámetro
Ver solución paso a paso
1. Usamos la relación directa \(C=\pi d\).
2. Igualamos: \(20\pi=\pi d\).
3. Dividimos por \(\pi\): \(d=20\text{ cm}\).
Superficie de un tablero circular
Ver solución paso a paso
1. La fórmula del área usa radio. Entonces \(r=\frac{12}{2}=6\text{ cm}\).
2. Aplicamos \(A=\pi r^2\): \(A=\pi\cdot6^2=36\pi\text{ cm}^2\).
Tres vueltas a una pista
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1. Una vuelta mide \(C=2\pi\cdot7=14\pi\text{ m}\).
2. Para 3 vueltas: \(3\cdot14\pi=42\pi\text{ m}\).
Pintura para un mural circular
Ver solución paso a paso
1. El radio es \(r=\frac42=2\text{ m}\).
2. El área del mural es \(A=\pi\cdot2^2=4\pi\text{ m}^2\).
3. Dividimos por el rendimiento: \(\frac{4\pi}{2\pi}=2\).
Zona circular alrededor de una fuente
Ver solución paso a paso
1. Área exterior: \(A_E=\pi\cdot8^2=64\pi\text{ m}^2\).
2. Área de la fuente: \(A_I=\pi\cdot5^2=25\pi\text{ m}^2\).
3. Restamos: \(64\pi-25\pi=39\pi\text{ m}^2\).
Círculo inscrito en un cuadrado
Ver solución paso a paso
1. Área del cuadrado: \(10^2=100\text{ cm}^2\).
2. El diámetro del círculo es igual al lado del cuadrado: \(d=10\text{ cm}\), por lo tanto \(r=5\text{ cm}\).
3. Área del círculo: \(\pi\cdot5^2=25\pi\text{ cm}^2\).
4. Región exterior al círculo: \(100-25\pi\text{ cm}^2\).
Errores frecuentes en círculo y circunferencia PAES
La mayoría de las respuestas incorrectas proviene de una decisión equivocada antes de calcular, no de la multiplicación final.
Confundir círculo y circunferencia
Se calcula área cuando la pregunta pide borde o longitud.
Usar diámetro como radio
Se reemplaza directamente \(d\) en \(A=\pi r^2\).
Olvidar el cuadrado
Se escribe \(A=\pi r\) y el resultado queda demasiado pequeño.
Elevar también \(\pi\)
Se transforma \(\pi r^2\) en \((\pi r)^2\).
Restar radios en zonas sombreadas
Se calcula el área usando únicamente la diferencia entre los radios.
Aproximar \(\pi\) antes de tiempo
La decimalización temprana introduce redondeos innecesarios.
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Fuente curricular
El temario oficial de Competencia Matemática 1 para la Admisión 2027 incluye el cálculo de perímetros y áreas de círculos, junto con problemas que involucran estos conocimientos en distintos contextos. Los ejercicios anteriores fueron creados para practicar esas habilidades sin reproducir preguntas oficiales.
Continúa estudiando Geometría PAES
Esta página profundiza el contenido circular de la guía principal y se conecta con las demás unidades del eje.
Preguntas frecuentes sobre circunferencia y círculo PAES
¿Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia?
La circunferencia es la línea que forma el borde. El círculo es toda la región interior limitada por esa línea.
¿Cómo se calcula la longitud de una circunferencia?
Se usa \(C=2\pi r\) cuando conoces el radio o \(C=\pi d\) cuando conoces el diámetro.
¿Cómo se calcula el área de un círculo?
Se aplica \(A=\pi r^2\). Si entregan el diámetro, primero debes dividirlo por 2 para obtener el radio.
¿Cuándo se deja \(\pi\) en la respuesta?
Se conserva \(\pi\) cuando se solicita un valor exacto o cuando las alternativas están expresadas con \(\pi\). Solo se aproxima si el enunciado lo indica.
¿Cómo se calcula una región circular sombreada?
Calcula por separado el área de cada figura completa y resta el área que no pertenece a la región solicitada.
¿Círculo y circunferencia aparecen en la PAES M1 2027?
Sí. El temario oficial incluye perímetros y áreas de círculos y su aplicación en problemas contextualizados.