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L13: Comparación entre función potencia, exponencial y logarítmica

Curso Paes M2 L13: Comparación entre función potencia, exponencial y logarítmica

NeuroPAES Matemática M2

M2-L13Álgebra y Funciones

Comparación potencia / exponencial / logarítmica

Compara las tres familias de funciones usando su dominio, puntos clave, asíntotas y crecimiento a largo plazo.

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xⁿ =

UN EJEMPLO PARA COMPARARx=10

Potencia: x²Exponencial: 2ˣ

ENTENDER · PRACTICAR · RECORDAR

~25 minhoy 7ejercicios + reflexión 48 hrepaso

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Concepto y modelado

~3 minutos

MICROCLASE

Un ejemplo modelado, paso a paso.

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Tu caja de herramientas5 herramientas y una trampa frecuente.

En esta comparación, \(n\) es entero positivo y \(b>1\). El ejemplo numérico usa \(x^2\), \(2^x\) y \(\log_2(x)\). La regla de cruces se limita a \(x\ge0\).

Crecimiento para \( x \) suficientemente grande

\( \log_b(x) \) \( \lt x^n \) \( \lt b^x \) \( \qquad (n \) \( \gt0,\ b \) \( \gt1) \)

Úsala para ordenar las tres funciones a largo plazo. Ejemplo: en \( x=10 \)⁠, \( 3{,}32 \) \( \lt100 \) \( \lt1024 \)⁠.

Dominios → distinguir el tipo de función

\( \mathrm{Dom}(x^n) \) \( =\mathbb{R}, \) \( \quad \mathrm{Dom}(b^x) \) \( =\mathbb{R}, \) \( \quad \mathrm{Dom}(\log_b x) \) \( =(0,\infty) \)

Úsala para identificar la función con dominio restringido. Ejemplo: \( \log_2(x) \) exige \( x\gt0 \)⁠.

Puntos clave → reconocer cada gráfico

\( x^n:(0,0), \) \( \qquad b^x:(0,1), \) \( \qquad \log_b(x):(1,0) \)

Úsala para reconocer la curva por un punto característico. Ejemplo: \( 2^0 \) \( =1 \) \( \Rightarrow(0,1) \)⁠.

Asíntotas → distinguir exponencial y logarítmica

\( b^x:\ y \) \( =0, \) \( \qquad \log_b(x):\ x \) \( =0 \)

Úsala para diferenciar sus gráficos. Ejemplo: \( \log_2(x) \) se aproxima al eje \( Y \) sin tocarlo.

Cruces de \( x^2 \) y \( 2^x \) para \( x\ge0 \)

\( 2^x \) \( =x^2,\ x \) \( \ge0 \) \( \Rightarrow x \) \( =2\ \text{o}\ x \) \( =4 \)

Úsala para ubicar sus intersecciones. Ejemplo: \( 2^4=4^2=16 \)⁠.

PRIMERO, CON APOYO

Ejercicio guiado

1 ejercicio · con pista

Inténtalo primero. Si te trabas, usa «Ver pista».

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ES TU TURNO

Ejercicio autónomo

2 ejercicios · sin pistas

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Reflexión

1 pregunta · sin nota

¿Qué parte te costó más?

Identificarla te ayuda a saber qué reforzar.

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QUÉDATE CON LA IDEA

Cierre

Reconoce cada familia.
Compara con condiciones.

Potencia

Con \(n\) entero positivo, su dominio es \(\mathbb{R}\) y pasa por \((0,0)\)⁠.

Exponencial

Su dominio es \(\mathbb{R}\)⁠, pasa por \((0,1)\) y tiene asíntota horizontal \(y=0\)⁠.

Logarítmica

Su dominio es \(x>0\)⁠, pasa por \((1,0)\) y tiene asíntota vertical \(x=0\)⁠.

Para entradas suficientemente grandes, el orden de crecimiento es: logarítmica, potencia y exponencial. Los cruces positivos de \(x^2\) y \(2^x\) están en \(x=2\) y \(x=4\)⁠.

Aprende con ciencia, no con suerte.

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